高等数学 5.1 定积分的概念与性质

定义 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上有界，在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 中任意插入若干个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b a=x0​

Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​} ，如果当 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0 时，这和的极限总存在，且与闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的分法及点 ξ i \xi_i ξi​ 的取法无关，把么称这个极限 I I I 为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的定积分（简称积分），记作 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx ，即 ∫ a b f ( x ) d x = I = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i (2) \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \tag{2} ∫ab​f(x)dx=I=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​(2) 其中 f ( x ) f(x) f(x) 叫做被积函数， f ( x ) d x f(x) \mathrm{d}x f(x)dx 叫做被积表达式， x x x 叫做积分变量， a a a 叫做积分下限， b b b 叫做积分上限， [ a , b ] [a, b] [a,